FilosoFísica

Durante o estudo de limites, que é um dos primeiros assuntos estudados na disciplina de cálculo , geralmente deparamo-nos com problemas que não podem ser resolvidos diretamente. O limite de uma função nada mais é do que o valor para a qual essa função tende quando $x$ tende a um determinado valor $a$. Por exemplo, o limite da função $f(x) = 3x + 7$ quando $x$ tende a $1$ é igual a $10$, pois basta você apenas substituir o valor de $x$ em $f(x)$. Agora, considere a seguinte função: $$f(x) = \frac{sen (x)}{x}$$ Qual o limite dessa função quando $x$ tende a $0$? Se você tomar esse limite, obterá como resultado uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, que, obviamente, não é um resultado aceitável, da mesma forma que a indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Em muitos casos, podemos usar alguns métodos algébricos para modificar a função e conseguir se livrar da indeterminação, mas esse não é o caso da função acima (e de uma infinidade de outras funções). Em situações como essas, o ...

 A lei de Coulomb, proposta em 1785 por Charles Coulomb, permite que calculemos a força elétrica entre duas cargas $q_1$ e $q_2$, separadas por uma distância $r$, mediante a seguinte relação: $$F = \frac{k_0 q_1q_2}{r^2}$$ onde $k_0$ é uma constante de proporcionalidade que vale $9,0\cdot 10^9$ $Nm^2/C^2$, e que pode ser escrita como $$k_0 = \frac{1}{4\pi 𝜖_0}$$ onde $𝜖_0$ representa a permissividade elétrica do vácuo, e vale $𝜖_0 = 8,85\cdot 10^{-12}C^2/Nm^2$. Existem várias maneiras de se calcular o campo elétrico, produzido por uma carga $q$, num certo ponto do espaço. Para evitar a complicação vetorial dos problemas, em geral é mais conveniente usar a lei de Gauss , pois essa formulação oferece muitas vantagens práticas. A lei de Gauss pode ser escrita como: $$𝜱_E = ∮E\cdot dA = \frac{q}{𝜖_0}$$ onde $E$ representa o campo elétrico e $dA$ é um elemento de área (vetor) perpendicular a superfície pelo qual o campo $E$ está passando, e $q$ é a carga que gera esse campo.. A lei...

  Organização: Harriet Swain Ano da edição: 2010 Páginas: 382 Gênero: Ciência Aviso: contém Spoilers !   Em pouco mais de 400 anos de ciência moderna, a civilização humana passou por mudanças drásticas sem precedentes. Esse período, que compreende uma pequeníssima parte de nossa história, ficou marcado por inúmeras transformações e revoluções de natureza epistemológica, tecnológica, intelectual, cultural, entre muitas outras.  Toda essa mudança e progresso não se deu ao acaso: foi justamente nesses últimos quatro séculos que a ciência, objeto de estudo desse livro, experimentou o seu mais notável avanço e progresso. Muitos epistemólogos concordam que a ciência, de fato, só teve início com Francis Bacon, Descartes, Kepler, Galileu e outros pensadores e cientistas do início do período renascentista. A razão para isso é simples: foi somente a partir desse período que as atividades científicas passaram a ser marcadas por muitas observações e experiências empíricas dos objeto...

  Um anagrama nada mais é do que um jogo de palavras no qual se embaralham as letras de uma determinada palavra para se obter outra diferente. Quanto maior for o número de letras que a palavra contém, maior será o número de anagramas que podem ser formados.  Matematicamente, podemos obter o número de anagramas de uma palavra de $n$ letras simplesmente tomando o seu fatorial, ou seja, fazendo uma permutação entre os seus $n$ elementos distintos, $P_n = n!$. Como a palavra "xadrez" possui 6 letras, o número de anagramas que podem ser formados é: $P_6 = 6! = 720$. A permutação entre as letras pode ser usada para se obter anagramas de qualquer palavra. No entanto, o que acontece se uma palavra possui letras repetidas? Tomemos como exemplo a palavra CASA; são 4 letras, e o fatorial de 4 é 24. No entanto, o número de anagramas da palavra CASA é 12 (verifique!), porque o A se repete duas vezes na palavra. Para determinar o número $N$ de anagramas em uma palavra de $x$ letras ...

  Autor: Teotonio Simões Ano da edição: 1999 Páginas: 48 Gênero: Filosofia/Sociologia   Se eu pudesse definir o Anarquismo em uma única palavra, seria essa: liberdade! Durante toda minha vida como leitor, confesso que nenhum outro movimento político/filosófico/social me encantou tanto como os ideais pregados pelo anarquismo. Essa afirmação pode gerar confusão e dúvida por parte do leitor, pois a grande maioria das pessoas possuem uma ideia equivocada acerca dos movimentos anarquistas, e muito disso se deve a visão difundida na grande mídia que identifica o anarquismo como sendo um regime que promove a bagunça, baderna e desordem. Irei utilizar o breve conteúdo apresentado neste livro para desmitificar essa ideia e explorar um pouco alguns dos mais importantes princípios desse movimento. Anarquismo é uma palavra que deriva do grego anarché ( an = sem, arché = poder), ou seja, é um movimento que luta por uma sociedade em que ninguém exerça poder sobre ninguém. Ao contrário ...

 Uma aplicação muito interessante sobre derivadas nos permite encontrar, de forma bastante simples, a equação da reta tangente à uma curva num dado ponto $(x_0,y_0)$. Neste texto, irei mostrar de forma muito simples como podemos encontrar a equação tangente à uma curva qualquer num certo ponto $x_0$. Observe o gráfico abaixo.                                             Fonte: respondeai.com.br/calculo O gráfico acima apresenta uma curva $f(x)$ e uma reta que tangencia essa curva no ponto $P$, que possui coordenadas $(x_0,y_0)$. Do cálculo diferencial e integral, sabemos que a inclinação da reta tangente com relação ao eixo $x$ representa a derivada de $f(x)$ com relação a variável $x$. A inclinação $m(x_0)$ da reta pode ser calculada por $$m = \frac{∆y}{∆x}=\frac{y-y_0}{x-x_0}$$ e, como a inclinação representa justamente a derivada, concluímos que $m(x_0) = f'(x_0)$ no pont...

Esse problema pode ser resolvido de forma muito simples e, para isso, iremos usar dois conceitos fundamentais de análise combinatória, que são, a saber, o princípio fundamental da contagem e o conceito de arranjo. Considere um conjunto de $n$ elementos distintos e que podem ser organizados de $k$ maneiras distintas. O número de arranjos $N_1$ que podemos fazer nesas condições pode ser determinado pela seguinte fórmula: $$N_A = \frac{n!}{(n-k)!}$$ Aplicando essa fórmula ao nosso problema, é fácil ver que, se tratando das letras, $n$ será igual a 26, que é o número de letras em nosso alfabeto, e $k=2$. Logo, temos $$N_1= \frac{26!}{(26-2)!} = \frac{26!}{24!}$$ que resulta em $N_1= 650$ maneiras distintas. Lembrando que o ponto de exclamação é usado para denotar uma fatoração . O fatorial de um número $n$ é simplesmente $n! = n(n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)...$, para $n \geq 2$. Sendo assim, para o caso em que $n=5$, temos $5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120$. No caso dos números, tem...

  As quatro forças fundamentais da natureza são: força nuclear forte e força nuclear fraca, força eletromagnética e força gravitacional. As duas primeiras manifestam-se apenas na escala microscópica, assim como a força eletromagnética, embora esta também possa ser sentida e quantificada na escala macroscópica. A força gravitacional, por outro lado, é a força dominante entre os objetos em larga escala do universo. A força gravitacional é, de longe, a mais fraca das quatro interações fundamentais. Neste texto, irei mostrar como a força gravitacional é incrivelmente fraca se comparada à força elétrica e, para isso, iremos comparar a força elétrica e gravitacional entre um próton e um elétron. O hidrogênio é o elemento mais simples e mais abundante da natureza. Um átomo de hidrogênio é constituído por um único próton no núcleo e um elétron em torno desse núcleo, numa configuração semelhante a de um planeta orbitando uma estrela. A força gravitacional entre esse próton e esse elétron po...

Coleção Conceitos da História  Ano da edição: 2019 Páginas: 80 Gênero: História/ Sociologia  Falar sobre comunismo e ideais marxistas é algo que gera bastante debate e controvérsia. A polarização política que marca nossa época inviabiliza qualquer forma de debate crítico e honesto sobre as ideias de Karl Marx (figura abaixo) e aos argumentos que contrapõem sua filosofia. Gostando ou não, o fato é que Marx se consolidou como um dos pensadores mais influentes da modernidade, e esta resenha crítica-descritiva tem como objetivo apresentar, de forma simples e resumida, os principais argumentos e conceitos que sustentam a filosofia comunista.  Mesmo não sendo especialista no assunto, considero que este livro seja ideal para quem é iniciante no assunto, uma vez que todos os tópicos abordados são apresentados de forma muito simples e clara, o que certamente facilita o entendimento e assimilação por parte do leitor. As 80 páginas do livro estão agrupadas em cinco capítulos, que vã...

Durante o ensino médio, aprendemos que a energia cinética de um corpo, que é a energia associada ao movimento, pode ser calculada mediante a seguinte relação: $$E_C = \frac{mv^2}{2}$$ onde $m$ representa a massa do corpo e $v$ a sua velocidade em relação a um dado referencial. Essa equação nos permite calcular a energia cinética de um corpo apenas para regimes de baixas velocidades, mais especificamente, para velocidades muito abaixo da velocidade da luz, que é de $300000$ km/s. Felizmente, podemos usar a fórmula acima para quase todas as situações cotidianas, pois até mesmo um foguete, que é um veículo extremamente veloz, se desloca com velocidades muito menores que à da luz. Para o caso de um corpo se movendo em velocidades relativísticas , a fórmula acima não é mais válida, e deve ser substituída pela fórmula da energia cinética relativística, que é dada por: $$E = m_0c^2(𝛾 -1)$$ onde $m_0$ é a chamada massa de repouso do objeto e o parâmetro $𝛾$ é conhecido como fator de Lorentz...

  O momento de inércia I é definido matematicamente como $$I = \int_{}^{} r^2dm$$ sendo $r$ a distância até o ponto onde se deseja calcular o momento de inércia, pois seu valor não é uniforme para todo o corpo, já que depende da distribuição de massa em torno do eixo em que se está considerando. Aqui, irei mostrar como se calcula o momento de inércia de uma esfera homogênea em torno de seu centro de massa, que, neste caso, coincide com o centro geométrico da esfera.  Para resolver a integral acima, precisamos determinar o elemento de massa $dm$ da esfera. A densidade volumétrica pode ser escrita como $$𝜌= \frac{d m}{dV}$$ e, se rearranjarmos essa expressão, obtemos $dm=𝜌dV$. O volume de uma esfera é $V= \frac{4\pi r^3}{3}$ e, se derivarmos $V$ em relação à $r$, obtemos o elemento de volume $dV$, que é $dV= 4\pi r^2dr$. Com isso, podemos escrever $dm$ como sendo igual a $dm=4\pi r^2𝜌dr$. Substituindo essa relação na primeira expressão apresentada, teremos: $$I=\int_{}^{} 4\p...

  Uma equação diferencial nada mais é do que uma equação que contém derivadas em seus termos. Existem dois tipos de equação diferencial: as equações diferenciais ordinárias , que são aquelas que possuem funções que dependem apenas de uma variável, e as equações diferenciais parciais , cujas funções dependem de mais de uma variável. A 2ª lei de Newton, que matematicamente é escrita como sendo $F = ma$, é um exemplo de equação diferencial. Considerando que a força é a derivada do momento linear em função do tempo e que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever a 2ª lei de Newton da seguinte forma: $$\frac{\, dp}{\, dt} = m\frac{\, dv}{\, dt}$$ onde a derivada no primeiro membro da equação representa a força resultante e a derivada no segundo membro representa a aceleração. A maioria dos problemas em física envolve a resolução de equações diferenciais. No entanto, dada a complexidade de modelagem dos fenômenos, o número de variáveis envolvidas pode ...

As funções matemáticas podem apresentar uma variedade muito grande de propriedades. Uma propriedade que é muito interessante é chamada de "paridade", que classifica as funções como sendo par ou ímpar. A paridade de uma função nos ajuda a determinar como será o comportamento gráfico dessa função para determinados valores de $x$, pois funções pares exibem uma simetria com relação ao eixo $y$, enquanto funções ímpares possuem uma simetria com relação à origem do sistema cartesiano. Vejamos isso em mais detalhes nos tópicos abaixo. Função par Uma função $f(x)$ é dita "par" se, e somente se, $f(x) = f(-x)$ para todo $x$ referente ao domínio da função. Ou seja, se substituirmos $x$ em $f(x)$ por $-x$, obtemos o mesmo resultado ou imagem, daí resulta o fato da simetria. Perceba, na imagem acima, que as áreas embaixo das retas (lado esquerdo e direito) são exatamente iguais; é como se a figura da esquerda fosse a parte refletida da figura da direita (e vice-versa). Em cálcu...

Recentemente, um de meus ex-alunos enviou-me uma questão simples, mas bem interessante, sobre análise combinatória. Considero que os conceitos lógicos envolvidos no problema são bem importantes para ajudar outros alunos a solucionarem problemas do gênero e outros mais, afinal, são muitas as coisas em nossa vida que exigem o agrupamento/coleção de itens e suas diferentes maneiras de organizá-los. Questão: Dez enxadristas participam de um campeonato em que todos jogam contra todos. Se um deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados? Resposta: 72 maneiras diferentes. A expressão que nos permite calcular esse resultado é simplesmente a fórmula que calcula o número de arranjos dos $n$ elementos de um conjunto que sejam tomados $k$ a $k$, ou seja, $$A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$$ onde $n$ representa o número total de elementos e $k$, neste problema, representa a "restrição" que é imposta no enunciado da questão. Se colocar...

  Os matemáticos (e qualquer apreciador de uma boa arte!) referem-se a equação de Euler como sendo a equação mais bela da matemática. De fato, são poucas as equações que conseguem reunir simplicidade, elegância e aplicação em uma única expressão (veja que a equação de Euler reúne praticamente os principais números e constantes da matemática: a constante de Euler $e$, a unidade imaginária $i$, a constante irracional $\pi$ e os números 1 e 0).  Para demonstrar de forma simples como podemos obter essa expressão, considere a seguinte função exponencial $f(x)= e^y$. Se $y=ix$, podemos escrever $f(x)$ como  $f(x) = e^{ix}$. Se expandirmos $f(x)$ em série de Taylor com $x_0$ centrado em 0 (série de Maclaurin), obtemos o seguinte resultado: $$e^{ix} = 1+ix+ \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \frac{(ix)^5}{5!}+ \frac{(ix)^6}{6!} + ...$$ e considerando que $i^2=-1$ (e levando em consideração os valores de $i^3$, $i^4$, $i^5$ e assim por diante), podemos reescr...

Autor: Allan Percy Ano da edição: 2011 Páginas: 110 Gênero: Aconselhamento filosófico Dentre todos os filósofos que já li, Nietzsche (figura abaixo) certamente é o que me causou impacto. A sua percepção única da realidade é um soco no estômago do leitor, e causa espanto ver que um autor que morreu há mais de 100 anos possui textos que descrevem muito bem a atual situação da sociedade, embora a filosofia nietzschiana seja centrada na narrativa dos sofrimentos e paixões do homem como indivíduo, e não necessariamente em sua interação com a sociedade.  Nietzsche foi um filósofo astuto e profícuo, e se você se interessou pela leitura deste livro como forma de introdução ao pensamento nietzschiano, lhe advirto: este livro possui um conteúdo filosófico muito raso, pois a proposta do autor é comentar brevemente sobre as mais famosas máximas do filósofo, mas de forma direcionada para os problemas cotidianos da modernidade. Ou seja, embora haja muita sabedoria nas afirmações apresentadas em ...

  Autor: Sun Tzu Ano da edição: 2018 Páginas: 125 Gênero: Tratado militar/não ficção "Se você conhece o inimigo e conhece a si mesmo, não precisa temer o resultado de cem batalhas. Se você se conhece, mas não conhece o inimigo, para cada vitória grande, sofrerá também uma derrota. Se você não conhece nem o inimigo, nem a si mesmo, perderá todas as batalhas..." São poucos os livros que conseguem se manter relevantes por muito tempo. Este livro faz parte de um seleto e reduzido grupo de obras que atravessou centenas de gerações de diferentes leitores, pois trata-se de uma obra milenar! Aqui, Sun Tzu, um antigo general chinês, descreve as principais estratégias e táticas de batalha para se obter sucesso em cenários de conflito. Mesmo sendo curto, este livro é um verdadeiro compêndio de como um líder militar deve se portar diante de uma batalha (ou na iminência de uma). Esse livro tornou-se um verdadeiro best-seller entre líderes orientais e ocidentais ao longo de várias geraçõe...

 Problema : No sistema esquematizado são desprezíveis o atrito, o momento de inércia da roldana e a massa do fio que liga as massas $M$ e $m$. Sabe-se que $M>m$ e que a aceleração da gravidade local é g. A tensão no fio e a aceleração a da massa $M$ são, respectivamente, dadas por [...] Resolução: Para encontrarmos a tensão no fio que sustenta a massa $M$, precisamos determinar a aceleração com que as massas se movem. Como o fio é inextensível, resulta que as acelerações dos dois blocos serão iguais. Montando um sistema de equações para as forças que agem nas massas $M$ e $m$, temos:  $P_A - T= Ma$    (1) $T - P_B=ma$     (2) onde $P_A$ é o peso da massa A e $P_B$ o peso da massa B. Resolvendo esse sistema de equações, obtemos $$(M - m)g= (M+m)a$$ e resulta que a aceleração do sistema é: $$a= \frac{(M-m)g}{M+m}$$ Substituindo a relação acima na equação (1), temos: $$Mg - T= M\left [\frac{(M-m)g}{M+m} \right]$$ Passando o termo $Mg$ para o segundo...

    O movimento de um objeto que se move em linha reta pode se dar de maneira uniforme (velocidade constante) ou acelerada (velocidade variando ao longo do tempo). A famosa equação de Torricelli é uma expressão matemática que nos permite determinar a velocidade final de um objeto que se move de forma retilínea e com uma dada aceleração (se $a>0$, diz-se que o movimento é acelerado ; se $a<0$, diz-se que o movimento é retardado ). A grande vantagem da equação de Torricelli é que a mesma dispensa o uso do tempo. Agora, vejamos como obter a equação de Torricelli por meio do cálculo diferencial e integral. Sabemos que a aceleração de um objeto pode ser escrita como sendo a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $$a=\frac{dv}{dt}$$ Usando a derivação em cadeia, a relação acima se torna $$a=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}$$ Observe que obtivemos $dx/dt$, que é justamente a velocidade. Sendo assim, podemos escrever a equação acima como $$adx=vdv$$ e fazendo a integraç...

Para mostrar que a unidade imaginária elevada a ela mesma é um número real, precisamos fazer uso da equação de Euler , que é escrita como:  $$e^{i\theta}= cos(\theta) + isen(\theta)$$ onde $i$ é a unidade imaginária e $\theta$ é um ângulo qualquer. Se fizermos $\theta=\pi$, a equação se reduz a $$e^{i\pi}=-1$$ já que $cos(\pi)=-1$ e $sen(\pi)=0$. A unidade imaginária, i, é igual a raiz quadrada de $-1$. Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, teremos $$i^2=-1$$ e se substituirmos esse resultado na relação 2, teremos $$e^{i\pi}= i^2$$  Se elevarmos ambos os membros dessa equação à $1/2$, conseguiremos isolar $i$ em um dos membros da equação $$i= (e^{i\pi})^\frac{1}{2}$$  Por fim, basta elevarmos ambos os membros dessa equação a $i$  $$i^i= e^{i^2\pi/2}$$ e usando a relação 3, obtemos o resultado final $$i^i= e^{-\pi/2}$$  A constante de Euler vale, aproximadamente, $2,71$, e podemos aproximar o valor de $\pi$ para $3,14$. Sendo assim, o valor de $i^i$ é, aprox...

Esse é um tema que gera polêmicas e controvérsias, mas que merece ser debatido. Não irei redigir um texto grande e formal para falar sobre esse assunto, pois não me inteirei completamente sobre o tema, e existem poucas referências disponíveis sobre o assunto. No entanto, gostaria de chamar atenção para o fato de que, hoje, debate-se muito sobre as liberdades individuais que cada pessoa pode exercer, independentemente do gênero, classe social, orientação sexual, etc., e considero importante trazer essa questão para a mesa de debate, pois a infelicidade conjugal é algo muito presente nas relações monogâmicas, e isso é um problema que acompanha os casais desde o surgimento da civilização.  A consolidação do capitalismo e a globalização deram as pessoas a possibilidade de adotarem variados estilos de vida, e isso inclui também suas vidas amorosas. São muitos os sites e aplicativos de namoro que fazem com que um romance seja decidido à base um único clique. Essa "comercialização do amo...

  Você muito provavelmente já deve ter ouvido falar no "lado oculto da Lua", ou, mais especificamente, no "lado escuro da Lua". A cultura popularizou esse termo através de filmes, histórias, canções (como o famoso álbum de 1973 de Pink Floyd), no entanto, não é correto falar em lado escuro da Lua, pois ambos os lados são iluminados pela luz do Sol. O que acontece, de fato, é que a Lua possui um lado que não conseguimos ver; repare que, ao longo do mês, sempre vemos a Lua com um mesmo aspecto visual, e isso pode ser melhor visualizado na figura abaixo. A foto da esquerda é a face da Lua que podemos observar. Perceba que a principal diferença entre ambas as faces é o fato de que o lado oculto (foto da direita) possui uma quantidade bem menor das imensas manchas escuras que o lado visível possui, que nada mais são do que registros do passado geologicamente ativo do nosso satélite. No entanto, a dúvida que fica é: se a Lua gira em torno de si mesma, porque vemos apenas ...