Questão do ITA sobre Polias

Problema: No sistema esquematizado são desprezíveis o atrito, o momento de inércia da roldana e a massa do fio que liga as massas $M$ e $m$. Sabe-se que $M>m$ e que a aceleração da gravidade local é g. A tensão no fio e a aceleração a da massa $M$ são, respectivamente, dadas por [...]

Resolução: Para encontrarmos a tensão no fio que sustenta a massa $M$, precisamos determinar a aceleração com que as massas se movem. Como o fio é inextensível, resulta que as acelerações dos dois blocos serão iguais. Montando um sistema de equações para as forças que agem nas massas $M$ e $m$, temos:

$P_A - T= Ma$ (1)

$T - P_B=ma$ (2)

onde $P_A$ é o peso da massa A e $P_B$ o peso da massa B. Resolvendo esse sistema de equações, obtemos

$$(M - m)g= (M+m)a$$

e resulta que a aceleração do sistema é:

$$a= \frac{(M-m)g}{M+m}$$

Substituindo a relação acima na equação (1), temos:

$$Mg - T= M\left [\frac{(M-m)g}{M+m} \right]$$

Passando o termo $Mg$ para o segundo membro da equação e deixando $M$ em evidência, temos:

$$-T= M\left [g - \frac{(M-m)g}{M+m} \right]$$

que implica em

$$-T= M\left [\frac{(M+m)g - (M-m)g}{M+m} \right]$$

deixando g em evidência, temos

$$-T= M\left [\frac{(M+m-M+m)g}{M+m} \right]$$

Por fim, multiplicando o resultado por $M$ e tirando o módulo de $T$, chegamos ao resultado desejado:

$$T= \frac{2Mmg}{M+m}$$

Referência Bibliográfica

CALÇADA, Caio Sérgio; SAMPAIO, José Luiz. Física Clássica: Dinâmica. 2ª. Edição. 2ª. Reimpressão. Atual Editora. São Paulo. 1998.

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