Durante o ensino médio, aprendemos que a energia cinética de um corpo, que é a energia associada ao movimento, pode ser calculada mediante a seguinte relação: $$E_C = \frac{mv^2}{2}$$ onde $m$ representa a massa do corpo e $v$ a sua velocidade em relação a um dado referencial. Essa equação nos permite calcular a energia cinética de um corpo apenas para regimes de baixas velocidades, mais especificamente, para velocidades muito abaixo da velocidade da luz, que é de $300000$ km/s. Felizmente, podemos usar a fórmula acima para quase todas as situações cotidianas, pois até mesmo um foguete, que é um veículo extremamente veloz, se desloca com velocidades muito menores que à da luz.
Para o caso de um corpo se movendo em velocidades relativísticas, a fórmula acima não é mais válida, e deve ser substituída pela fórmula da energia cinética relativística, que é dada por: $$E = m_0c^2(𝛾 -1)$$ onde $m_0$ é a chamada massa de repouso do objeto e o parâmetro $𝛾$ é conhecido como fator de Lorentz, e é expresso por $$𝛾 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$. Quando um corpo se move em velocidades comparáveis à velocidade da luz, devemos usar a equação 2 para calcular a energia cinética desse móvel, ao invés da equação apresentada no início do texto. Observe que, matematicamente, é possível inferir o porque um objeto não pode viajar mais rápido que a luz no vácuo: na expressão acima, se $v>c$ o resultado será um número negativo, e como não existe raíz quadrada de número negativo (não iremos adotar os números complexos como solução nesse problema), implica que $v$ deve ser sempre menor que $c$ (E se $v=c$, o que acontece?).
Como o leitor bem sabe, novos modelos teóricos em física devem incorporar os resultados dos modelos anteriores como sendo casos especiais ou casos limites, ou seja, um novo modelo representativo de um fenômeno nada mais é do que uma generalização do modelo anterior, na grande maioria dos casos. Como exemplo, podemos citar a teoria newtoniana da gravitação e a teoria da relatividade geral, de modo que, a partir desta última, podemos obter todos os resultados previstos pelo modelo newtoniano. Sendo assim, podemos facilmente obter a fórmula da energia cinética da mecânica clássica a partir da energia cinética relativística, desde que se obedeça a condição $v<<c$, isto é, um corpo que se move com velocidade $v$ muito inferior à velocidade da luz, $c$.
Para fazer com que um objeto se mova mais rápido, é necessário fornecer uma certa energia, de modo que quanto maior for a energia fornecida, maior a velocidade resultante do corpo. É impossível acelerar um corpo até a velocidade da luz porque a energia necessária para tal tende ao infinito! Isso pode ser melhor ilustrado no gráfico abaixo.
Figura 1: Gráfico da energia cinética $K$ (relativística e não-relativística) em função da velocidade $u$.
Esse gráfico representa a energia cinética $K$ em função da velocidade $u$ e, como pode ser visto, quando a velocidade se aproxima de $c$, a energia cinética relativística (linha vermelha) cresce exponencialmente e tende ao infinito. Ou seja, é uma impossibilidade física um corpo ser acelerado até a velocidade da luz, e isso é válido até mesmo para partículas subatômicas: por mais que se forneça energia para essas partículas nos experimentos com aceleradores de partículas, elas nunca atingem o valor da velocidade da luz.
Por meio de métodos matemáticos apropriados, podemos obter a fórmula clássica da energia cinética a partir da fórmula da energia cinética relativística. Para demonstrar isso, vamos expandir o fator de Lorentz em série de Taylor (mais especificamente em série de McClaurin) e buscar uma aproximação para a energia cinética. Fazendo $x = v^2/c^2$, podemos reescrever o fator de Lorentz da seguinte forma: $$𝛾 = (1-x)^{-1/2} = f(x)$$ A série de Taylor de uma função $g(x)$ qualquer pode ser escrita como: $$g(x) = \sum_{n=0}^{∞} g^n(x_0) \frac{(x - x_0)^n}{n!}$$ onde o termo $g^n(x_0)$ representa as derivadas da função e $n$ a ordem da derivada. Expandindo $f(x)$ em série de McClaurin (com $x_0 = 0$), obtemos os seguintes resultados para diferentes valores de $n$: $f(0)=1$, $f´(0)=-1/2$, $f´´(0)= 3/4$ e assim por diante. Logo, podemos escrever $f(x)$ da seguinte forma: $$f(x) = f(0) + f´(0)x + f´´(0)\frac{x^2}{2!} + f´´´(0)\frac{x^3}{3!} + ...$$ e, usando os valores que obtivemos, podemos escrever $f(x)$ como $$f(x) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} +...$$ Como $x= v^2/c^2$, podemos escrever $f(x)$ como $$f(x) = 1 + \frac{v^2}{2c^2} + \frac{3v^4}{8c^4} + ...$$ Como estamos querendo obter a fórmula da energia cinética clássica a partir da fórmula relativística, é necessário considerar que as velocidades são muito inferiores à velocidade da luz, isto é, $v<<c$. Levando em conta essa condição, podemos desprezar os termos de maior ordem de nossa expansão, pois o resultado vai se tornando cada vez mais pequeno a medida que aumentamos o valor do expoente, ou seja, os termos de maior ordem são desprezíveis. Sendo assim, podemos aproximar a expansão para a seguinte relação: $$𝛾 = (1 - x)^{-1/2} = 1 + \frac{v^2}{2c^2}$$ Por fim, substituindo essa relação na expressão da energia cinética relativística, temos: $$E = m_0c^2\left (1 + \frac{v^2}{2c^2} - 1 \right)$$ Aplicando a propriedade distributiva, temos $$E = m_0c^2 + \frac{m_0c^2v^2}{2c^2} - m_0c^2$$ Simplificando o resultado acima, finalmente obtemos o resultado desejado: $$E = \frac{m_0v^2}{2}$$ onde $m_0$ representa a massa de repouso de um corpo, ou, se preferir, pode simplesmente chamar de massa do corpo.
Referências Bibliográficas
RODRIGUES, Clóves Gonçalves. Tópicos de física matemática para licenciatura. Editora Livraria da Física, 2017.
FRENCH, Anthony Philip. Special relativity. CRC Press, 2017.
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