Método de Separação de Variáveis (EDP's)

 

Uma equação diferencial nada mais é do que uma equação que contém derivadas em seus termos. Existem dois tipos de equação diferencial: as equações diferenciais ordinárias, que são aquelas que possuem funções que dependem apenas de uma variável, e as equações diferenciais parciais, cujas funções dependem de mais de uma variável. A 2ª lei de Newton, que matematicamente é escrita como sendo $F = ma$, é um exemplo de equação diferencial. Considerando que a força é a derivada do momento linear em função do tempo e que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever a 2ª lei de Newton da seguinte forma: $$\frac{\, dp}{\, dt} = m\frac{\, dv}{\, dt}$$ onde a derivada no primeiro membro da equação representa a força resultante e a derivada no segundo membro representa a aceleração.

A maioria dos problemas em física envolve a resolução de equações diferenciais. No entanto, dada a complexidade de modelagem dos fenômenos, o número de variáveis envolvidas pode ser muito grande, e é daí que surge a necessidade de utilizar equações diferenciais parciais. Um exemplo de equação desse tipo é: $$𝛼\frac{\partial F^2(x,y)}{\partial x^2} + 𝛽\frac{\partial F^2(x,y)}{\partial t^2} = 𝛾$$ onde os coeficientes 𝛼, 𝛽 e 𝛾 podem ou não depender de $x$ e $y$. A resolução de equações diferenciais parciais demanda métodos que são mais complicados do que os usados na resolução de equações diferenciais ordinárias. Em virtude disto, o método de separação de variáveis consiste em transformar uma equação diferencial parcial em uma ou mais equações diferenciais ordinárias, que são justamente o tipo de equação que possuem mais métodos de solução. Para isso, basta escrever a solução da equação diferencial parcial $F(x,y)$ como sendo igual ao produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis. Vejamos isso em mais detalhes no exemplo abaixo.

Considere a seguinte equação diferencial parcial: $$\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 𝛼\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}$$ Pelo método de separação de variáveis, podemos escrever a solução $u(x,t)$ como sendo igual ao produto de duas outras funções, ou seja, $$u(x,t) = F(x)G(t)$$ Perceba que a função $F(x)$ depende apenas da variável $x$, e a função $G(t)$ depende apenas da variável $t$. Substituindo essa relação na equação diferencial acima, temos $$\frac{\partial [F(x)G(t)]}{\partial x} = 𝛼F(x)\frac{\partial [G(t)]}{\partial t}$$ Como a derivada no primeiro membro é apenas em relação a $x$ e a do segundo membro é apenas em relação a $t$, podemos escrever a equação da seguinte forma: $$G(t)\frac{\partial [F(x)]}{\partial x} = 𝛼F(x)\frac{\partial [G(t)]}{\partial t}$$ Como $F(x)$ depende apenas $x$ e $G(t)$ depende apenas de $t$, podemos substituir as derivadas parciais por derivadas totais, ou seja, $$G(t)\frac{\, dF(x)}{\, dx} = 𝛼F(x)\frac{\, dG(t)}{\, dt}$$ Passando $F(x)$ para o primeiro membro e $G(t)$ para o segundo membro, temos: $$\frac{1}{F(x)}\frac{\, dF(x)}{\, dx} = \frac{𝛼}{G(t)}\frac{\, dG(t)}{\, dt}$$ Como cada membro só depende de uma única variável, podemos identificar este membro como sendo igual a uma constante $C$, ou seja, $$\frac{1}{F(x)}\frac{\, dF(x)}{\, dx} = C$$ e $$\frac{𝛼}{G(t)}\frac{\, dG(t)}{\, dt} = C$$ A constante $C$ é chamada de "constante de separação", e a mesma surge nas equações diferenciais ordinárias a seguir como sendo um coeficiente a se determinar. Em vista disso, as equações acima podem ser reescritas como: $$\frac{\, dF(x)}{\, dx} = CF(x)$$ e $$\frac{\, dG(t)}{\, dt} = CG(t)$$ que implica em $$\frac{\, dF(x)}{\, dx} - CF(x) = 0$$ e $$\frac{\, dG(t)}{\, dt} - \frac{C}{𝛼}G(t) = 0$$ Através do método de separação de variáveis, conseguimos transformar a equação diferencial parcial do problema em duas equações diferenciais ordinárias, que possuem mais métodos de resolução e que também são mais simples de se resolverem. Essas duas últimas equações, por exemplo, podem ser resolvidas mediante série de potência, que será um assunto abordado em outra postagem.

Referências Bibliográficas

RODRIGUES, Clóves Gonçalves. Tópicos de física matemática para licenciatura. Editora Livraria da Física, 2017.

ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações diferenciais vol. 1. Pearson Makron Books, 2008.

MATOS, Joao Palhoto. Introdução às Equações Diferenciais Parciais. 2011.