Questão sobre Análise Combinatória

Recentemente, um de meus ex-alunos enviou-me uma questão simples, mas bem interessante, sobre análise combinatória. Considero que os conceitos lógicos envolvidos no problema são bem importantes para ajudar outros alunos a solucionarem problemas do gênero e outros mais, afinal, são muitas as coisas em nossa vida que exigem o agrupamento/coleção de itens e suas diferentes maneiras de organizá-los.

Questão: Dez enxadristas participam de um campeonato em que todos jogam contra todos. Se um deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados?

Resposta: 72 maneiras diferentes.

A expressão que nos permite calcular esse resultado é simplesmente a fórmula que calcula o número de arranjos dos $n$ elementos de um conjunto que sejam tomados $k$ a $k$, ou seja, $$A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$$ onde $n$ representa o número total de elementos e $k$, neste problema, representa a "restrição" que é imposta no enunciado da questão. Se colocarmos os valores da questão na expressão acima, tem-se $$A_{10,3} = \frac{10!}{(10-3)!}$$ que resulta em $$A_{10,3} = \frac{10!}{7!} = \frac{3.628.800}{5040} = 720$$ Percebam que esse não é o resultado correto! O erro neste problema consiste em substituir os valores na expressão sem antes analisar corretamente o enunciado. Vejam que o enunciado informa que um dos jogadores vence todas as partidas, portanto, este jogador, obviamente, ficará sempre na primeira colocação, ou seja, sua posição será fixa. Sendo assim, levando em conta apenas os três melhores colados, restam apenas duas posições (2º e 3º lugares).

Sendo assim, o valor correto para $n$ será 9, já que a primeira posição não se altera. Substituindo na expressão que calcula o número de arranjos, tem-se $$A_{9,2} = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{362.880}{5040} = 72$$ que é o resultado que desejávamos.

Referência Bibliográfica

Iezzi, G., Dolce, O., Degenszajn, D., Périgo, R., & de Almeida, N. (2001). Matemática: ciência e aplicações.

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