Momento de Inércia de uma Esfera homogênea

O momento de inércia I é definido matematicamente como $$I = \int_{}^{} r^2dm$$ sendo $r$ a distância até o ponto onde se deseja calcular o momento de inércia, pois seu valor não é uniforme para todo o corpo, já que depende da distribuição de massa em torno do eixo em que se está considerando. Aqui, irei mostrar como se calcula o momento de inércia de uma esfera homogênea em torno de seu centro de massa, que, neste caso, coincide com o centro geométrico da esfera.

Para resolver a integral acima, precisamos determinar o elemento de massa $dm$ da esfera. A densidade volumétrica pode ser escrita como $$𝜌= \frac{d m}{dV}$$ e, se rearranjarmos essa expressão, obtemos $dm=𝜌dV$. O volume de uma esfera é $V= \frac{4\pi r^3}{3}$ e, se derivarmos $V$ em relação à $r$, obtemos o elemento de volume $dV$, que é $dV= 4\pi r^2dr$. Com isso, podemos escrever $dm$ como sendo igual a $dm=4\pi r^2𝜌dr$. Substituindo essa relação na primeira expressão apresentada, teremos: $$I=\int_{}^{} 4\pi 𝜌r^4dr$$. Para obtermos o resultado desejado, essa integral deve ser realizada de 0 à $R$, que é o raio da esfera. Sendo assim, temos: $$I=4\pi 𝜌\int_{0}^{R} r^4dr$$. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, obtemos $$I=\frac{4\pi 𝜌R^5}{5}$$ Como a densidade é a razão da massa $M$ pelo volume $V$, e como o volume de uma esfera é igual a $V=\frac{4\pi R^3}{3}$, podemos escrever a densidade como sendo igual a $𝜌=\frac{3\pi R^3}{4}$. Por fim, substituindo esse resultado na expressão do momento de inércia, obtemos o resultado desejado: $$I=\frac{3MR^2}{5}$$ Podemos usar esse resultado para calcular o momento de inércia de uma esfera com relação a um eixo passando por seu centro de massa, mas isso será tema para outra postagem.

Referência Bibliográfica

LUIZ, Adir Moysés. Física 1-mecânica: teoria e problemas resolvidos. Editora Livraria da Fisica, 2006.

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