Para mostrar que a unidade imaginária elevada a ela mesma é um número real, precisamos fazer uso da equação de Euler, que é escrita como: $$e^{i\theta}= cos(\theta) + isen(\theta)$$onde $i$ é a unidade imaginária e $\theta$ é um ângulo qualquer. Se fizermos $\theta=\pi$, a equação se reduz a$$e^{i\pi}=-1$$já que $cos(\pi)=-1$ e $sen(\pi)=0$. A unidade imaginária, i, é igual a raiz quadrada de $-1$. Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, teremos$$i^2=-1$$e se substituirmos esse resultado na relação 2, teremos$$e^{i\pi}= i^2$$ Se elevarmos ambos os membros dessa equação à $1/2$, conseguiremos isolar $i$ em um dos membros da equação$$i= (e^{i\pi})^\frac{1}{2}$$ Por fim, basta elevarmos ambos os membros dessa equação a $i$ $$i^i= e^{i^2\pi/2}$$e usando a relação 3, obtemos o resultado final$$i^i= e^{-\pi/2}$$ A constante de Euler vale, aproximadamente, $2,71$, e podemos aproximar o valor de $\pi$ para $3,14$. Sendo assim, o valor de $i^i$ é, aproximadamente, $0,207$. Em verdade, o resultado consiste em um número transcendental, que é todo número que não pode ser escrito como raiz de algum polinômio de coeficientes inteiros.
Uma equação diferencial nada mais é do que uma equação que contém derivadas em seus termos. Existem dois tipos de equação diferencial: as equações diferenciais ordinárias , que são aquelas que possuem funções que dependem apenas de uma variável, e as equações diferenciais parciais , cujas funções dependem de mais de uma variável. A 2ª lei de Newton, que matematicamente é escrita como sendo $F = ma$, é um exemplo de equação diferencial. Considerando que a força é a derivada do momento linear em função do tempo e que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever a 2ª lei de Newton da seguinte forma: $$\frac{\, dp}{\, dt} = m\frac{\, dv}{\, dt}$$ onde a derivada no primeiro membro da equação representa a força resultante e a derivada no segundo membro representa a aceleração. A maioria dos problemas em física envolve a resolução de equações diferenciais. No entanto, dada a complexidade de modelagem dos fenômenos, o número de variáveis envolvidas pode ...
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