Demonstração de que i elevado a i é um número real

Para mostrar que a unidade imaginária elevada a ela mesma é um número real, precisamos fazer uso da equação de Euler, que é escrita como: $$e^{i\theta}= cos(\theta) + isen(\theta)$$onde $i$ é a unidade imaginária e $\theta$ é um ângulo qualquer. Se fizermos $\theta=\pi$, a equação se reduz a$$e^{i\pi}=-1$$já que $cos(\pi)=-1$ e $sen(\pi)=0$. A unidade imaginária, i, é igual a raiz quadrada de $-1$. Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, teremos$$i^2=-1$$e se substituirmos esse resultado na relação 2, teremos$$e^{i\pi}= i^2$$ Se elevarmos ambos os membros dessa equação à $1/2$, conseguiremos isolar $i$ em um dos membros da equação$$i= (e^{i\pi})^\frac{1}{2}$$ Por fim, basta elevarmos ambos os membros dessa equação a $i$ $$i^i= e^{i^2\pi/2}$$e usando a relação 3, obtemos o resultado final$$i^i= e^{-\pi/2}$$ A constante de Euler vale, aproximadamente, $2,71$, e podemos aproximar o valor de $\pi$ para $3,14$. Sendo assim, o valor de $i^i$ é, aproximadamente, $0,207$. Em verdade, o resultado consiste em um número transcendental, que é todo número que não pode ser escrito como raiz de algum polinômio de coeficientes inteiros.