Quantos anagramas podemos formar com a palavra "Xadrez"?

Um anagrama nada mais é do que um jogo de palavras no qual se embaralham as letras de uma determinada palavra para se obter outra diferente. Quanto maior for o número de letras que a palavra contém, maior será o número de anagramas que podem ser formados.

Matematicamente, podemos obter o número de anagramas de uma palavra de $n$ letras simplesmente tomando o seu fatorial, ou seja, fazendo uma permutação entre os seus $n$ elementos distintos, $P_n = n!$. Como a palavra "xadrez" possui 6 letras, o número de anagramas que podem ser formados é: $P_6 = 6! = 720$.

A permutação entre as letras pode ser usada para se obter anagramas de qualquer palavra. No entanto, o que acontece se uma palavra possui letras repetidas? Tomemos como exemplo a palavra CASA; são 4 letras, e o fatorial de 4 é 24. No entanto, o número de anagramas da palavra CASA é 12 (verifique!), porque o A se repete duas vezes na palavra. Para determinar o número $N$ de anagramas em uma palavra de $x$ letras e com $y$ letras que se repetem, basta dividir o fatorial de $x$ pelo de $y$, ou seja, $$N = \frac{x!}{y!}$$ No caso da palavra CASA, vemos que essa fórmula nos dá o resultado correto: $N = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$. E se duas letras diferentes se repetirem numa palavra? Se uma palavra contendo $x$ letras possuir uma letra que se repete $y$ vezes e outra que se repete $z$ vezes, então o número de anagramas que pode ser formado é dado pela seguinte fórmula: $$N = \frac{x!}{y!z!}$$ Tomemos como exemplo a palavra APOSENTADO; são 10 letras, no qual a letra A se repete duas vezes e a letra O também. Substituindo isso na expressão acima, com $x=10$, $y=2$ e $z=2$, temos: $$N = \frac{10!}{2!2!} = \frac{3628800}{4} = 907200$$ que é, portanto, o número total de anagramas que podem ser formados com a palavra aposentado.

Referência Bibliográfica

Iezzi, G., Dolce, O., Degenszajn, D., Périgo, R., & de Almeida, N. (2001). Matemática: ciência e aplicações.

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