Dedução da equação de Torricelli

O movimento de um objeto que se move em linha reta pode se dar de maneira uniforme (velocidade constante) ou acelerada (velocidade variando ao longo do tempo). A famosa equação de Torricelli é uma expressão matemática que nos permite determinar a velocidade final de um objeto que se move de forma retilínea e com uma dada aceleração (se $a>0$, diz-se que o movimento é acelerado; se $a<0$, diz-se que o movimento é retardado). A grande vantagem da equação de Torricelli é que a mesma dispensa o uso do tempo. Agora, vejamos como obter a equação de Torricelli por meio do cálculo diferencial e integral.

Sabemos que a aceleração de um objeto pode ser escrita como sendo a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $$a=\frac{dv}{dt}$$

Usando a derivação em cadeia, a relação acima se torna $$a=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}$$

Observe que obtivemos $dx/dt$, que é justamente a velocidade. Sendo assim, podemos escrever a equação acima como $$adx=vdv$$ e fazendo a integração dessa equação de $x$ a $x_0$ (na variável $x$) e de $v$ a $v_0$ (na variável $v$), temos $$a \int_{x_0}^{x} \, dx= \int_{v_0}^{v} v \, dv$$ Finalmente, aplicando os limites conhecidos e fazendo uma simples manipulação algébrica, chegamos ao resultado desejado:$$v^2=v_0^2+2a\Delta x$$ sendo $\Delta x$ a variação no deslocamento.

Links Úteis

[1] https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/equacao-torricelli.htm

[2] https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/muv2.php

Comentários

Postagens mais visitadas deste blog

Método de Separação de Variáveis (EDP's)

Uma equação diferencial nada mais é do que uma equação que contém derivadas em seus termos. Existem dois tipos de equação diferencial: as equações diferenciais ordinárias , que são aquelas que possuem funções que dependem apenas de uma variável, e as equações diferenciais parciais , cujas funções dependem de mais de uma variável. A 2ª lei de Newton, que matematicamente é escrita como sendo $F = ma$, é um exemplo de equação diferencial. Considerando que a força é a derivada do momento linear em função do tempo e que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever a 2ª lei de Newton da seguinte forma: $$\frac{\, dp}{\, dt} = m\frac{\, dv}{\, dt}$$ onde a derivada no primeiro membro da equação representa a força resultante e a derivada no segundo membro representa a aceleração. A maioria dos problemas em física envolve a resolução de equações diferenciais. No entanto, dada a complexidade de modelagem dos fenômenos, o número de variáveis envolvidas pode ...

Resenha: Guia Politicamente Incorreto da Filosofia, de Luiz Felipe Pondé

Autor: Luiz Felipe Pondé Ano da edição: 2015 Páginas: 230 Gênero: Filosofia Acredito que esta resenha, assim como o conteúdo do livro, dispense grande parte da formalidade com a qual escrevo meus textos. Quem conhece o filósofo Luiz Felipe Pondé (figura abaixo) sabe a maneira como ele se expressa e escreve (geralmente com muitas pitadas de ironia e de forma um tanto leviana). Como é descrito pelo próprio autor, este livro não é uma obra sobre história da filosofia, mas sim um ensaio de filosofia do cotidiano. Mais especificamente, "é a confissão de um pecador irônico a respeito de uma mentira moral: o politicamente correto "(trecho retirado da contracapa). Sendo assim, o objetivo do livro é mostrar, seguindo a argumentação do autor, que o politicamente correto (ou "praga PC", como é descrito pelo próprio autor) é uma falácia intelectual e moral. Ao longo dos 25 capítulos, Pondé usa situações cotidianas, acompanhadas do pensamento de um determinado autor sobre o a...

Encontrando a equação da reta tangente à uma curva num ponto $x_0$

Uma aplicação muito interessante sobre derivadas nos permite encontrar, de forma bastante simples, a equação da reta tangente à uma curva num dado ponto $(x_0,y_0)$. Neste texto, irei mostrar de forma muito simples como podemos encontrar a equação tangente à uma curva qualquer num certo ponto $x_0$. Observe o gráfico abaixo. Fonte: respondeai.com.br/calculo O gráfico acima apresenta uma curva $f(x)$ e uma reta que tangencia essa curva no ponto $P$, que possui coordenadas $(x_0,y_0)$. Do cálculo diferencial e integral, sabemos que a inclinação da reta tangente com relação ao eixo $x$ representa a derivada de $f(x)$ com relação a variável $x$. A inclinação $m(x_0)$ da reta pode ser calculada por $$m = \frac{∆y}{∆x}=\frac{y-y_0}{x-x_0}$$ e, como a inclinação representa justamente a derivada, concluímos que $m(x_0) = f'(x_0)$ no pont...

FilosoFísica

Pesquisar este blog