Dedução da equação de Torricelli

O movimento de um objeto que se move em linha reta pode se dar de maneira uniforme (velocidade constante) ou acelerada (velocidade variando ao longo do tempo). A famosa equação de Torricelli é uma expressão matemática que nos permite determinar a velocidade final de um objeto que se move de forma retilínea e com uma dada aceleração (se $a>0$, diz-se que o movimento é acelerado; se $a<0$, diz-se que o movimento é retardado). A grande vantagem da equação de Torricelli é que a mesma dispensa o uso do tempo. Agora, vejamos como obter a equação de Torricelli por meio do cálculo diferencial e integral.

Sabemos que a aceleração de um objeto pode ser escrita como sendo a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $$a=\frac{dv}{dt}$$

Usando a derivação em cadeia, a relação acima se torna $$a=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}$$

Observe que obtivemos $dx/dt$, que é justamente a velocidade. Sendo assim, podemos escrever a equação acima como $$adx=vdv$$ e fazendo a integração dessa equação de $x$ a $x_0$ (na variável $x$) e de $v$ a $v_0$ (na variável $v$), temos $$a \int_{x_0}^{x} \, dx= \int_{v_0}^{v} v \, dv$$ Finalmente, aplicando os limites conhecidos e fazendo uma simples manipulação algébrica, chegamos ao resultado desejado:$$v^2=v_0^2+2a\Delta x$$ sendo $\Delta x$ a variação no deslocamento.

Links Úteis

[1] https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/equacao-torricelli.htm

[2] https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/muv2.php

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