Função par e função ímpar

As funções matemáticas podem apresentar uma variedade muito grande de propriedades. Uma propriedade que é muito interessante é chamada de "paridade", que classifica as funções como sendo par ou ímpar. A paridade de uma função nos ajuda a determinar como será o comportamento gráfico dessa função para determinados valores de $x$, pois funções pares exibem uma simetria com relação ao eixo $y$, enquanto funções ímpares possuem uma simetria com relação à origem do sistema cartesiano. Vejamos isso em mais detalhes nos tópicos abaixo.

Função par

Uma função $f(x)$ é dita "par" se, e somente se, $f(x) = f(-x)$ para todo $x$ referente ao domínio da função. Ou seja, se substituirmos $x$ em $f(x)$ por $-x$, obtemos o mesmo resultado ou imagem, daí resulta o fato da simetria.

Perceba, na imagem acima, que as áreas embaixo das retas (lado esquerdo e direito) são exatamente iguais; é como se a figura da esquerda fosse a parte refletida da figura da direita (e vice-versa). Em cálculo diferencial e integral, podemos calcular a área gerada por uma curva (dada por uma função $f(x)$) usando uma integral simples, e, neste caso, temos que $$Área = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$ sendo $a$ e $b$ os limites de integração, e que geometricamente representam a extensão da figura em questão (como a largura, altura, etc).

Considerando que a área das duas figuras acima (triângulos) são iguais, podemos escrever essa integral da seguinte forma $$\int_{-x}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{x} f(x) \, dx$$ já que as duas figuras têm mesma área. Sendo assim, a integral de $f(x)$, tomada de $-x$ à $x$ é exatamente igual a soma das duas integrais acima, ou seja, $$\int_{-x}^{x} f(x) \, dx = \int_{-x}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{x} f(x) \, dx$$ e, levando em conta a igualdade anterior, obtemos a seguinte identidade $$\int_{-x}^{x} f(x) \, dx = 2\int_{0}^{x} f(x) \, dx$$  A identidade acima é muito útil na resolução de certas integrais e em alguns problema de física-matemática. As funções $f(x) = x^2$, $f(x) = ax^2 + bx^4$ e $f(x) = cos(x)$ são exemplos de funções pares.

Função ímpar

Uma função $f(x)$ é ímpar se $f(x) = -f(-x)$. Na figura abaixo, é fácil ver que uma função ímpar mostra uma simetria com relação à origem do eixo cartesiano. 

Perceba que os triângulos formados com essa reta possuem áreas iguais, porém um se encontra invertido com relação ao outro. Colocando isso sob a forma de integral, tem-se $$\int_{-x}^{0} f(x) \, dx = -\int_{0}^{x} f(x) \, dx$$ de modo que o sinal negativo se deve à inversão de uma das imagens. Com isso, tem-se $$\int_{-x}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{x} f(x) \, dx = 0$$ e, finalmente, chega-se a uma fórmula de recorrência válida para funções ímpares $$\int_{-x}^{x} f(x) \, dx = 0$$

É importante frisar que nem toda função possui uma paridade definida, ou seja, existem funções que não são nem par, nem ímpar. Exemplos disso são as funções $ln(x)$ e $e^x$.

Referência Bibliográfica

RODRIGUES, Clóves Gonçalves. Tópicos de física matemática para licenciatura. Editora Livraria da Física, 2017.

Links Úteis 

[1] https://www.somatematica.com.br/emedio/funcoes/funcoes7.php

[2] https://www.todamateria.com.br/funcao-par-e-funcao-impar/