Demonstração da Equação de Euler

 

Os matemáticos (e qualquer apreciador de uma boa arte!) referem-se a equação de Euler como sendo a equação mais bela da matemática. De fato, são poucas as equações que conseguem reunir simplicidade, elegância e aplicação em uma única expressão (veja que a equação de Euler reúne praticamente os principais números e constantes da matemática: a constante de Euler $e$, a unidade imaginária $i$, a constante irracional $\pi$ e os números 1 e 0). 

Para demonstrar de forma simples como podemos obter essa expressão, considere a seguinte função exponencial $f(x)= e^y$. Se $y=ix$, podemos escrever $f(x)$ como  $f(x) = e^{ix}$. Se expandirmos $f(x)$ em série de Taylor com $x_0$ centrado em 0 (série de Maclaurin), obtemos o seguinte resultado: $$e^{ix} = 1+ix+ \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \frac{(ix)^5}{5!}+ \frac{(ix)^6}{6!} + ...$$ e considerando que $i^2=-1$ (e levando em consideração os valores de $i^3$, $i^4$, $i^5$ e assim por diante), podemos reescrever a expressão acima como: $$e^{ix} = 1+ix- \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} +...$$ Podemos separar a parte real e a parte imaginária da seguinte forma: $$e^{ix} = \left (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +... \right) + i \left (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +... \right)$$ Observe o segundo membro dessa equação. Os termos contidos no primeiro parêntese correspondem exatamente a expansão em Taylor da função $\cos (x)$, enquanto que os termos do segundo parêntese correspondem a expansão, também em Taylor, da função $sen (x)$! Sendo assim, a expressão acima ganha a forma de um número complexo, simbolizado pela letra Z, e que é escrito como $Z = a + ib$, sendo que a é a parte real de Z e b é a parte imaginária. Com isso, vemos que a parte real corresponde a função $cos (x)$ e b corresponde a função $sen (x)$, e podemos, enfim, escrever a expressão acima em sua forma trigonométrica: $$e^{ix} = cos(x) + isen(x)$$

Por fim, para escrever a expressão acima na forma que é apresentada na imagem de abertura desse texto, basta tomarmos o valor de $x$ como sendo igual à $\pi$. Fazendo isso, têm-se: $$e^{i\pi} = cos(\pi) + isen(\pi)$$ Consultando o ciclo trigonométrico, vemos que $cos(\pi)$ é igual a -1, enquanto que $sen(\pi)$ é igual à 0. Sendo assim, obtemos o seguinte resultado: $$e^{i\pi} = -1$$ e que pode ser reescrito em sua forma final: $$e^{i\pi} + 1 = 0$$

Referência Bibliográfica

RODRIGUES, Clóves Gonçalves. Tópicos de física matemática para licenciatura. Editora Livraria da Física, 2017.