Regra de L'Hôpital

Durante o estudo de limites, que é um dos primeiros assuntos estudados na disciplina de cálculo, geralmente deparamo-nos com problemas que não podem ser resolvidos diretamente. O limite de uma função nada mais é do que o valor para a qual essa função tende quando $x$ tende a um determinado valor $a$. Por exemplo, o limite da função $f(x) = 3x + 7$ quando $x$ tende a $1$ é igual a $10$, pois basta você apenas substituir o valor de $x$ em $f(x)$. Agora, considere a seguinte função: $$f(x) = \frac{sen (x)}{x}$$ Qual o limite dessa função quando $x$ tende a $0$? Se você tomar esse limite, obterá como resultado uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, que, obviamente, não é um resultado aceitável, da mesma forma que a indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Em muitos casos, podemos usar alguns métodos algébricos para modificar a função e conseguir se livrar da indeterminação, mas esse não é o caso da função acima (e de uma infinidade de outras funções). Em situações como essas, o que podemos fazer?

A famosa Regra de L'Hôpital, descoberta por Bernoulli e publicada por L'Hôpital, resolve esse problema de forma extremamente simples: podemos comparar o quociente de duas funções $f(x)$ e $g(x)$ com o quociente de suas derivadas $f'(x)$ e $g'(x)$, respectivamente. Ou seja: $$\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \rightarrow a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$ Em outras palavras, para nos livramos da indeterminação, podemos simplesmente tomar as derivadas do numerador e denominador (não confunda com a regra do quociente para derivadas) e aplicar o limite. No caso da função $f(x)$ apresentada acima, temos: $$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{cos x}{1}} = 1$$ já que a derivada de $sen (x)$ é $cos (x)$ e $cos(0) = 1$. Agora, considere o seguinte limite: $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{5x^3+4x^2-7x+4}{8x^3-6x^2+x+2}}$$ Se aplicarmos o limite, cairemos numa indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$, portanto, devemos aplicar a regra de L'Hôpital para nos livrarmos dessa indeterminação: $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{15x^2+8x-7}{24x^2-12x+1}}$$ Mas espere! Se tomarmos o limite o resultado ainda continua sendo uma indeterminação! O que fazer nesse caso? Em situações como essa, você pode tranquilamente aplicar a regra de L'Hõpital novamente. Sendo assim: $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{30x+8}{48x-12}}$$ que ainda resulta em indeterminação, portanto, aplicamos novamente a regra de L'Hôpital $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{30}{48}} = \frac{5}{8}$$ que é o resultado que buscávamos.

No exemplo acima, tivemos que utilizar a regra de L'Hôpital três vezes para conseguir evitar a indeterminação. A ideia é fazer uso do método até "dar certo". Com essa técnica você nunca mais terá problemas com indeterminações quando estiver resolvendo problemas envolvendo limites.

Bons estudos!

Referências

LEITHOLD, Louis et al. El cálculo. México: Oxford University Press, 1998.

Links para matérias simples sobre o assunto:

http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/regras_lhospital/regras_lhospital.htm

https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-context-app/dc-lhopital-composite-exp/a/lhopitals-rule-review