Determinação do campo elétrico ao redor de uma carga pontual $q$ por meio da Lei de Gauss

 A lei de Coulomb, proposta em 1785 por Charles Coulomb, permite que calculemos a força elétrica entre duas cargas $q_1$ e $q_2$, separadas por uma distância $r$, mediante a seguinte relação: $$F = \frac{k_0 q_1q_2}{r^2}$$ onde $k_0$ é uma constante de proporcionalidade que vale $9,0\cdot 10^9$ $Nm^2/C^2$, e que pode ser escrita como $$k_0 = \frac{1}{4\pi 𝜖_0}$$ onde $𝜖_0$ representa a permissividade elétrica do vácuo, e vale $𝜖_0 = 8,85\cdot 10^{-12}C^2/Nm^2$.

Existem várias maneiras de se calcular o campo elétrico, produzido por uma carga $q$, num certo ponto do espaço. Para evitar a complicação vetorial dos problemas, em geral é mais conveniente usar a lei de Gauss, pois essa formulação oferece muitas vantagens práticas. A lei de Gauss pode ser escrita como: $$𝜱_E = ∮E\cdot dA = \frac{q}{𝜖_0}$$ onde $E$ representa o campo elétrico e $dA$ é um elemento de área (vetor) perpendicular a superfície pelo qual o campo $E$ está passando, e $q$ é a carga que gera esse campo.. A lei de Gauss nos permite calcular o fluxo do campo elétrico $𝜱_E$ por uma dada superfície fechada, também chamada de superfície gaussiana. Esse procedimento facilita muito os cálculos pois pode-se recorrer à simetria nos problemas de forma conveniente.

Para calcular o campo elétrico à uma distância $r$ de uma carga $q$, podemos usar a lei de Gauss acima e obter o resultado desejado. Para isso, considere a figura abaixo.

 

                                        Fonte: http://fma.if.usp.br/cap02

Podemos usar a simetria de uma esfera e determinar qual o valor do campo situado a uma distância $r$ de $q$ (convenientemente colocada no centro da esfera). Podemos simplificar o problema se considerarmos que $r$ é pequeno o bastante para fazer com que o campo $E$ seja constante. Nesse caso, a integral do fluxo elétrico fica: $$ 𝜱_E = ∮E\cdot dA = E∮ dA$$ de modo que a integral $∮ dA$ é a própria área, e como se trata de uma esfera, concluímos que o fluxo é: $$𝜱_E = 4\pi r^2E$$ onde $r$ é justamente o raio da esfera. 

Por fim, como o fluxo $𝜱_E$ é dado pela equação 3, basta igualarmos essa expressão com a que obtivemos acima: $$𝜱_E = \frac{q}{𝜖_0} = 4\pi r^2E = \frac{q}{𝜖_0}$$ que, finalmente, resulta no resultado desejado: $$E = \frac{q}{4\pi 𝜖_0r^2}$$ que é exatamente o resultado que encontraríamos se tivéssemos utilizado outro procedimento.

Referências

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo, vol. 3. Editora: LTC, 2007.  

Arquivo em PDF com uma ótima abordagem do assunto: http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap2.pdf