Determinação do campo elétrico ao redor de uma carga pontual $q$ por meio da Lei de Gauss

A lei de Coulomb, proposta em 1785 por Charles Coulomb, permite que calculemos a força elétrica entre duas cargas $q_1$ e $q_2$, separadas por uma distância $r$, mediante a seguinte relação: $$F = \frac{k_0 q_1q_2}{r^2}$$ onde $k_0$ é uma constante de proporcionalidade que vale $9,0\cdot 10^9$ $Nm^2/C^2$, e que pode ser escrita como $$k_0 = \frac{1}{4\pi 𝜖_0}$$ onde $𝜖_0$ representa a permissividade elétrica do vácuo, e vale $𝜖_0 = 8,85\cdot 10^{-12}C^2/Nm^2$.

Existem várias maneiras de se calcular o campo elétrico, produzido por uma carga $q$, num certo ponto do espaço. Para evitar a complicação vetorial dos problemas, em geral é mais conveniente usar a lei de Gauss, pois essa formulação oferece muitas vantagens práticas. A lei de Gauss pode ser escrita como: $$𝜱_E = ∮E\cdot dA = \frac{q}{𝜖_0}$$ onde $E$ representa o campo elétrico e $dA$ é um elemento de área (vetor) perpendicular a superfície pelo qual o campo $E$ está passando, e $q$ é a carga que gera esse campo.. A lei de Gauss nos permite calcular o fluxo do campo elétrico $𝜱_E$ por uma dada superfície fechada, também chamada de superfície gaussiana. Esse procedimento facilita muito os cálculos pois pode-se recorrer à simetria nos problemas de forma conveniente.

Para calcular o campo elétrico à uma distância $r$ de uma carga $q$, podemos usar a lei de Gauss acima e obter o resultado desejado. Para isso, considere a figura abaixo.

Fonte: http://fma.if.usp.br/cap02

Podemos usar a simetria de uma esfera e determinar qual o valor do campo situado a uma distância $r$ de $q$ (convenientemente colocada no centro da esfera). Podemos simplificar o problema se considerarmos que $r$ é pequeno o bastante para fazer com que o campo $E$ seja constante. Nesse caso, a integral do fluxo elétrico fica: $$ 𝜱_E = ∮E\cdot dA = E∮ dA$$ de modo que a integral $∮ dA$ é a própria área, e como se trata de uma esfera, concluímos que o fluxo é: $$𝜱_E = 4\pi r^2E$$ onde $r$ é justamente o raio da esfera.

Por fim, como o fluxo $𝜱_E$ é dado pela equação 3, basta igualarmos essa expressão com a que obtivemos acima: $$𝜱_E = \frac{q}{𝜖_0} = 4\pi r^2E = \frac{q}{𝜖_0}$$ que, finalmente, resulta no resultado desejado: $$E = \frac{q}{4\pi 𝜖_0r^2}$$ que é exatamente o resultado que encontraríamos se tivéssemos utilizado outro procedimento.

Referências

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo, vol. 3. Editora: LTC, 2007.

Arquivo em PDF com uma ótima abordagem do assunto: http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap2.pdf

Comentários

Postagens mais visitadas deste blog

Método de Separação de Variáveis (EDP's)

Uma equação diferencial nada mais é do que uma equação que contém derivadas em seus termos. Existem dois tipos de equação diferencial: as equações diferenciais ordinárias , que são aquelas que possuem funções que dependem apenas de uma variável, e as equações diferenciais parciais , cujas funções dependem de mais de uma variável. A 2ª lei de Newton, que matematicamente é escrita como sendo $F = ma$, é um exemplo de equação diferencial. Considerando que a força é a derivada do momento linear em função do tempo e que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever a 2ª lei de Newton da seguinte forma: $$\frac{\, dp}{\, dt} = m\frac{\, dv}{\, dt}$$ onde a derivada no primeiro membro da equação representa a força resultante e a derivada no segundo membro representa a aceleração. A maioria dos problemas em física envolve a resolução de equações diferenciais. No entanto, dada a complexidade de modelagem dos fenômenos, o número de variáveis envolvidas pode ...

Resenha: "Não espere pelo epitáfio: provocações filosóficas...", de Mário Sérgio Cortella

Autor: Mário Sérgio Cortella Ano da edição: 2012 Páginas: 156 Gênero: Filosofia O filósofo e escritor Mário Sérgio Cortella (figura abaixo) já é conhecido pela clareza e relevância na escrita, além de ser uma pessoa simpática e atenciosa com o seu público. "Não espere pelo epitáfio" é um livro que goza de um grande mérito literário, pois embora seja um livro de filosofia, consegue ser muito atrativo e cativante, assim como aquele bom e velho romance ou ficção que quase todo mundo já leu. A obra é destinada a abordar uma série de assuntos relevantes para o pensamento humano e para a vida em sociedade, coisas que vão desde os problemas habituais do dia-a-dia à problemas que abordam questões sobre a razão e a existência. Cada capítulo é escrito de forma muito simples e fácil de se compreender, especialmente pelo fato de serem bastante curtos. É um livrinho muito gostoso de se ler, especialmente pra quem está começando a se interessar por...

Encontrando a equação da reta tangente à uma curva num ponto $x_0$

Uma aplicação muito interessante sobre derivadas nos permite encontrar, de forma bastante simples, a equação da reta tangente à uma curva num dado ponto $(x_0,y_0)$. Neste texto, irei mostrar de forma muito simples como podemos encontrar a equação tangente à uma curva qualquer num certo ponto $x_0$. Observe o gráfico abaixo. Fonte: respondeai.com.br/calculo O gráfico acima apresenta uma curva $f(x)$ e uma reta que tangencia essa curva no ponto $P$, que possui coordenadas $(x_0,y_0)$. Do cálculo diferencial e integral, sabemos que a inclinação da reta tangente com relação ao eixo $x$ representa a derivada de $f(x)$ com relação a variável $x$. A inclinação $m(x_0)$ da reta pode ser calculada por $$m = \frac{∆y}{∆x}=\frac{y-y_0}{x-x_0}$$ e, como a inclinação representa justamente a derivada, concluímos que $m(x_0) = f'(x_0)$ no pont...

FilosoFísica

Pesquisar este blog