Encontrando a equação da reta tangente à uma curva num ponto $x_0$

 Uma aplicação muito interessante sobre derivadas nos permite encontrar, de forma bastante simples, a equação da reta tangente à uma curva num dado ponto $(x_0,y_0)$. Neste texto, irei mostrar de forma muito simples como podemos encontrar a equação tangente à uma curva qualquer num certo ponto $x_0$. Observe o gráfico abaixo.

                                            Fonte: respondeai.com.br/calculo

O gráfico acima apresenta uma curva $f(x)$ e uma reta que tangencia essa curva no ponto $P$, que possui coordenadas $(x_0,y_0)$. Do cálculo diferencial e integral, sabemos que a inclinação da reta tangente com relação ao eixo $x$ representa a derivada de $f(x)$ com relação a variável $x$. A inclinação $m(x_0)$ da reta pode ser calculada por $$m = \frac{∆y}{∆x}=\frac{y-y_0}{x-x_0}$$ e, como a inclinação representa justamente a derivada, concluímos que $m(x_0) = f'(x_0)$ no ponto $x_0$.

A equação tangente à curva no ponto $P$ pode ser escrita em sua forma reduzida, e que, genericamente, é escrita como $y = mx + n$, sendo $m$ o coeficiente angular (inclinação) da reta. Finalmente, temos tudo o que é necessário para encontrar uma reta tangente a uma curva $f(x)$ num dado ponto. Considere a função $f(x) = 3x^2 - 4x +1$. Qual é a expressão da reta que tangencia ess curva no ponto $x=2$?

Para resolver isso, primeiro precisamos saber qual é o ponto $y$ correspondente ao ponto $x$ e, para isso, basta substituir $x=2$ em $f(x)$, ou seja, $$f(2) = 3(2)^2 - 4\cdot 2 +1 = 5$$ e, derivando $f(x)$ com relação à $x$, obtemos $$f'(x) = 6x -4$$ e, para descobrir o valor de $m$, basta substituir $x=2$ em $f'(x)$, que resulta em $f'(2) = 6\cdot 2 - 4 = 8$. Rearranjando os membros da primeira expressão, podemos escrevê-la na forma que desejamos (forma reduzida), ou seja, $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ e, por fim, para determinarmos a tangente de $f(x)$ no ponto $x_0 = 2$, basta substituirmos esses valores na expressão acima, que resulta em $$y - 5 = 8(x - 2)$$ $$y = 8x - 11$$ que é a expressão desejada. Para colocar a equação em sua forma geral, basta passar todos os termos para o primeiro membro da equação, ou seja, $$8x -y +11 = 0$$ Uma outra aplicação interessante é determinar a reta perpendicular (ou normal) à tangente nesse ponto, mas isso será tema para uma outra postagem.

Referências Bibliográficas

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica, vol. 1, editora harbra ltda. São Paulo. 685p.

STEWART, James; ROMO, Jorge Humberto. cálculo. Cengage Learning, 2017.