Quantas senhas podemos formar com 2 letras e 3 números?

Esse problema pode ser resolvido de forma muito simples e, para isso, iremos usar dois conceitos fundamentais de análise combinatória, que são, a saber, o princípio fundamental da contagem e o conceito de arranjo.

Considere um conjunto de $n$ elementos distintos e que podem ser organizados de $k$ maneiras distintas. O número de arranjos $N_1$ que podemos fazer nesas condições pode ser determinado pela seguinte fórmula: $$N_A = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Aplicando essa fórmula ao nosso problema, é fácil ver que, se tratando das letras, $n$ será igual a 26, que é o número de letras em nosso alfabeto, e $k=2$. Logo, temos $$N_1= \frac{26!}{(26-2)!} = \frac{26!}{24!}$$ que resulta em $N_1= 650$ maneiras distintas. Lembrando que o ponto de exclamação é usado para denotar uma fatoração. O fatorial de um número $n$ é simplesmente $n! = n(n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)...$, para $n \geq 2$. Sendo assim, para o caso em que $n=5$, temos $5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120$. No caso dos números, temos $n=10$, que é o número de algarismos, e $k=3$, logo, $$N_2 = \frac{10!}{(10-3)!}= \frac{10!}{7!}$$ que resulta em $N_2 = 720$.

Por fim, para determinarmos quantas são as maneiras distintas que podemos combinar duas letras e três números, aplicamos o princípio fundamental da contagem, que diz que se um procedimento pode ser executado em duas etapas, e em cada uma dessas etapas pode-se agrupar elementos de $m$ e $n$ maneiras distintas, então o número total de maneiras é simplesmente $m\cdot n$. No nosso caso, fazemos a multiplicação de cada arranjo, ou seja, $$N = N_1\cdot N_2 = 650\cdot 720 = 468000$$

Portanto, o número total $N$ de senhas que podem ser formadas é de 468000!

Referência Bibliográfica

Iezzi, G., Dolce, O., Degenszajn, D., Périgo, R., & de Almeida, N. (2001). Matemática: ciência e aplicações.

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