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Recentemente, um de meus ex-alunos enviou-me uma questão simples, mas bem interessante, sobre análise combinatória. Considero que os conceitos lógicos envolvidos no problema são bem importantes para ajudar outros alunos a solucionarem problemas do gênero e outros mais, afinal, são muitas as coisas em nossa vida que exigem o agrupamento/coleção de itens e suas diferentes maneiras de organizá-los. Questão: Dez enxadristas participam de um campeonato em que todos jogam contra todos. Se um deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados? Resposta: 72 maneiras diferentes. A expressão que nos permite calcular esse resultado é simplesmente a fórmula que calcula o número de arranjos dos $n$ elementos de um conjunto que sejam tomados $k$ a $k$, ou seja, $$A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$$ onde $n$ representa o número total de elementos e $k$, neste problema, representa a "restrição" que é imposta no enunciado da questão. Se colocar...

  Os matemáticos (e qualquer apreciador de uma boa arte!) referem-se a equação de Euler como sendo a equação mais bela da matemática. De fato, são poucas as equações que conseguem reunir simplicidade, elegância e aplicação em uma única expressão (veja que a equação de Euler reúne praticamente os principais números e constantes da matemática: a constante de Euler $e$, a unidade imaginária $i$, a constante irracional $\pi$ e os números 1 e 0).  Para demonstrar de forma simples como podemos obter essa expressão, considere a seguinte função exponencial $f(x)= e^y$. Se $y=ix$, podemos escrever $f(x)$ como  $f(x) = e^{ix}$. Se expandirmos $f(x)$ em série de Taylor com $x_0$ centrado em 0 (série de Maclaurin), obtemos o seguinte resultado: $$e^{ix} = 1+ix+ \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \frac{(ix)^5}{5!}+ \frac{(ix)^6}{6!} + ...$$ e considerando que $i^2=-1$ (e levando em consideração os valores de $i^3$, $i^4$, $i^5$ e assim por diante), podemos reescr...

Autor: Allan Percy Ano da edição: 2011 Páginas: 110 Gênero: Aconselhamento filosófico Dentre todos os filósofos que já li, Nietzsche (figura abaixo) certamente é o que me causou impacto. A sua percepção única da realidade é um soco no estômago do leitor, e causa espanto ver que um autor que morreu há mais de 100 anos possui textos que descrevem muito bem a atual situação da sociedade, embora a filosofia nietzschiana seja centrada na narrativa dos sofrimentos e paixões do homem como indivíduo, e não necessariamente em sua interação com a sociedade.  Nietzsche foi um filósofo astuto e profícuo, e se você se interessou pela leitura deste livro como forma de introdução ao pensamento nietzschiano, lhe advirto: este livro possui um conteúdo filosófico muito raso, pois a proposta do autor é comentar brevemente sobre as mais famosas máximas do filósofo, mas de forma direcionada para os problemas cotidianos da modernidade. Ou seja, embora haja muita sabedoria nas afirmações apresentadas em ...

  Autor: Sun Tzu Ano da edição: 2018 Páginas: 125 Gênero: Tratado militar/não ficção "Se você conhece o inimigo e conhece a si mesmo, não precisa temer o resultado de cem batalhas. Se você se conhece, mas não conhece o inimigo, para cada vitória grande, sofrerá também uma derrota. Se você não conhece nem o inimigo, nem a si mesmo, perderá todas as batalhas..." São poucos os livros que conseguem se manter relevantes por muito tempo. Este livro faz parte de um seleto e reduzido grupo de obras que atravessou centenas de gerações de diferentes leitores, pois trata-se de uma obra milenar! Aqui, Sun Tzu, um antigo general chinês, descreve as principais estratégias e táticas de batalha para se obter sucesso em cenários de conflito. Mesmo sendo curto, este livro é um verdadeiro compêndio de como um líder militar deve se portar diante de uma batalha (ou na iminência de uma). Esse livro tornou-se um verdadeiro best-seller entre líderes orientais e ocidentais ao longo de várias geraçõe...

 Problema : No sistema esquematizado são desprezíveis o atrito, o momento de inércia da roldana e a massa do fio que liga as massas $M$ e $m$. Sabe-se que $M>m$ e que a aceleração da gravidade local é g. A tensão no fio e a aceleração a da massa $M$ são, respectivamente, dadas por [...] Resolução: Para encontrarmos a tensão no fio que sustenta a massa $M$, precisamos determinar a aceleração com que as massas se movem. Como o fio é inextensível, resulta que as acelerações dos dois blocos serão iguais. Montando um sistema de equações para as forças que agem nas massas $M$ e $m$, temos:  $P_A - T= Ma$    (1) $T - P_B=ma$     (2) onde $P_A$ é o peso da massa A e $P_B$ o peso da massa B. Resolvendo esse sistema de equações, obtemos $$(M - m)g= (M+m)a$$ e resulta que a aceleração do sistema é: $$a= \frac{(M-m)g}{M+m}$$ Substituindo a relação acima na equação (1), temos: $$Mg - T= M\left [\frac{(M-m)g}{M+m} \right]$$ Passando o termo $Mg$ para o segundo...

    O movimento de um objeto que se move em linha reta pode se dar de maneira uniforme (velocidade constante) ou acelerada (velocidade variando ao longo do tempo). A famosa equação de Torricelli é uma expressão matemática que nos permite determinar a velocidade final de um objeto que se move de forma retilínea e com uma dada aceleração (se $a>0$, diz-se que o movimento é acelerado ; se $a<0$, diz-se que o movimento é retardado ). A grande vantagem da equação de Torricelli é que a mesma dispensa o uso do tempo. Agora, vejamos como obter a equação de Torricelli por meio do cálculo diferencial e integral. Sabemos que a aceleração de um objeto pode ser escrita como sendo a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, $$a=\frac{dv}{dt}$$ Usando a derivação em cadeia, a relação acima se torna $$a=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}$$ Observe que obtivemos $dx/dt$, que é justamente a velocidade. Sendo assim, podemos escrever a equação acima como $$adx=vdv$$ e fazendo a integraç...

Para mostrar que a unidade imaginária elevada a ela mesma é um número real, precisamos fazer uso da equação de Euler , que é escrita como:  $$e^{i\theta}= cos(\theta) + isen(\theta)$$ onde $i$ é a unidade imaginária e $\theta$ é um ângulo qualquer. Se fizermos $\theta=\pi$, a equação se reduz a $$e^{i\pi}=-1$$ já que $cos(\pi)=-1$ e $sen(\pi)=0$. A unidade imaginária, i, é igual a raiz quadrada de $-1$. Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, teremos $$i^2=-1$$ e se substituirmos esse resultado na relação 2, teremos $$e^{i\pi}= i^2$$  Se elevarmos ambos os membros dessa equação à $1/2$, conseguiremos isolar $i$ em um dos membros da equação $$i= (e^{i\pi})^\frac{1}{2}$$  Por fim, basta elevarmos ambos os membros dessa equação a $i$  $$i^i= e^{i^2\pi/2}$$ e usando a relação 3, obtemos o resultado final $$i^i= e^{-\pi/2}$$  A constante de Euler vale, aproximadamente, $2,71$, e podemos aproximar o valor de $\pi$ para $3,14$. Sendo assim, o valor de $i^i$ é, aprox...